Allgemeines zur binomischen Formel
Der Fachbegriff “binomische Formel” geht auf das lateinische ‘binominis’ (‘zwei Namen tragend’) zurück und gehört in das mathematische Teilgebiet Algebra. Er bezeichnet die Umformung (das Ausmultiplizieren) eines zweigliedrigen Produktausdrucks, dessen Faktoren wiederum aus zweigliedrigen Summen- bzw. Differenzausdrücken bestehen.
Geht man von einer einfachen Produktbildung x*y aus, dann erhält man im Sonderfall x = y das Quadrat der Zahl x. Nun kann man festlegen, dass x und y Summen- oder Differenzausdrücke sein sollen, die jeweils aus den Zahlen a und b gebildet werden. Setzt man für x und y nun jeweils (a+b) oder (a-b) ein, ergeben sich drei mögliche Produktausdrücke: zwei Quadrate (x=y) und ein “echter” Produktterm. Die Regeln für das Ausmultiplizieren dieser Terme werden als binomische Formeln bezeichnet. Sie können z.B. beim Kopfrechnen Berechnungen mit großen Zahlen vereinfachen.
Mathematische Herleitung
Die erste binomische Formel
Diese Formel beschreibt den Fall x = y = a + b.
(a+b)(a+b) = (a+b)a + (a+b)b = a² + ab + ba + b²= a² + 2ab + b²
durch aufeinanderfolgende Anwendung des Distributivgesetzes x(a+b)=xa+xb und des Kommutativgesetzes (ab=ba)
Aufgabe: Berechnung des Quadrats der Zahl 102
Lösung: 102² = (100+2)*(100+2) = 100² + 2*2*100 + 2² = 10000+400+4 = 10404
Die zweite binomische Formel
Hier wird der Fall x = y = a-b betrachtet.
(a-b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b)
= a² – ab – ba + b²
= a² – 2ab + b²
Aufgabe: Berechnung des Quadrats der Zahl 98
Lösung: 98² = (100-2)*(100-2) = 100² – 2*2*100 + 2² = 10000-400+4 = 9604
Die dritte binomische Formel
Dies ist der Fall x=(a+b) und y=(a-b).
(a+b)(a-b) = a(a+b) + b(a-b)
= a² + ab – ba – b²
= a² – b²
Aufgabe: Berechnung des Produkts 104*96
Lösung: 104*96 = (100+4)*(100-4) = 100² – 16 = 10000 – 4 = 9984
Die quadratische Ergänzung
Anstelle der Umwandlung des Produktterms in einen Summen- oder Differenzterm trifft in der linearen Algebra häufig der umgekehrte Vorgang auf. Ein Lösungsansatz linearer Gleichungen zweiter Ordnung beruht auf dem Prinzip, dass sich jeder Summen- oder Differenzausdruck auf den quadratischen Term (a+b)² oder (a-b)² zurückführen lässt. Dies setzt bei den meisten Gleichungen die Erweiterung des Summenausdrucks um einen Summanden voraus, der dem b² aus der binomischen Formel entspricht.
Beispiel: Lösung einer Gleichung zweiter Ordnung
x² + 4x + 7 = 19
Die zwei ersten Summanden auf der linken Seite der Gleichung entsprechen dem Teilausdruck “a²+2ab” aus der binomischen Formel. Nun muss noch das b² ergänzt werden. Die Subtraktion von b² erfolgt, damit am Gesamtausdruck nichts verändert wird.
<=> x² + 4x + (2² – 2²) + 7 = 19
<=> (x² + 4x + 2²) – 2² + 7 = 19; Umformung durch neues Setzen der Klammern
Nun wird der Ausdruck in den Klammern auf ein Quadrat zurückgeführt.
<=> (x+2)² + 3 = 19 |-3
<=> (x+2)² = 16 |Wurzel ziehen
Durch das Ziehen der Wurzel bleibt eine einfache Gleichung erster Ordnung übrig.
<=> x+2 = +/- 4 |-2
<=> x = 2 oder x = -6
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