Kettenregel: Ableitung und Beispiele

Kettenregel: Ableitung und Beispiele
Foto: Sergey Nivens/Shutterstock.com

Allgemeines zur Kettenregel

Die Kettenregel ist eine Formel für die Ableitung von Funktionen, die ineinander verschachtelt, “verkettet” sind. Diese Funktionen haben die allgemeine Form
f(x) = g(h(x))
oder in einer ebenfalls gebräuchlichen Notationsweise
f(x) = g(x)°h(x),
wobei der Kreis die Verkettung symbolisiert und keineswegs mit einer Multiplikation zu verwechseln ist.

Neben den Funktionen, die als Summe oder Produkt von Teilfunktionen interpretierbar sind, gibt es eine Reihe weiterer Funktionen, die nicht in dieses Schema hineinpassen. So ist beispielsweise eine Funktion wie

f(x) = (x³+2)^{4} (^{4} steht hier für “hoch vier”)

zwar durch Ausmultiplizieren in eine Polynomfunktion umformbar, was allerdings in diesem Fall eine vergleichsweise mühsame Vorgehensweise wäre. Deshalb ist hier die folgende dreistufige Methode für das Differenzieren (Ableiten) der Funktion zu empfehlen:

1.) Zunächst wird innerhalb der Funktion f(x) nach einer Komponente gesucht, die sich z.B. nach der Potenzregel ableiten lässt. In diesem Fall wäre dies der Term x³+2, der als innere Funktion h(x) definiert wird.
h(x)= x³+2

2.) Nun wird für diesen Term eine neue Substitutionsvariable (Ersatzvariable) z eingeführt, die den Funktionsausdruck h(x) = x³+2 ersetzt.
z:= x³+2
Zwischen der Variablen z und dem Gleichheitszeichen befindet sich hier ein Doppelpunkt zur Markierung des Substitutionsvorgangs.
Gleichzeitig wird der gesamte Funktionsausdruck f(x) durch eine Funktion g(z) ersetzt, die von der Ersatzvariablen z abhängig ist:
f(x) -> g(z) = z^{4}
Nach entsprechender Rücksubstitution erhält man wieder einen von x abhängigen Funktionsausdruck
f(x) = g(h(x)) = (x³+2)^4

3.) Die Funktion g(z) mit der Ersatzvariablen z wird als äußere Funktion bezeichnet. Die Ableitung der Funktion f(x) lautet dann gemäß der Kettenregel:
f'(x) = g'(z)*h'(x) = g'(h(x))*h'(x)
Mit g'(z) = 4z³ und h'(x)=3x² gemäß der Potenzregel wird die Ableitung (nach einer Rücksubstitution der Variablen in der äußeren Ableitungsfunktion g'(z)) zu
f'(x) = 4(x³+2)*3x² = 12x²(x³+2)

Als Gedächtnisstütze für die Kettenregel wird häufig die in Worte gefasste Variante “äußere Ableitung mal innere Ableitung” herangezogen.

Beispiele für die Anwendung der Kettenregel

1. Beispiel: Ableitung der Funktion f(x) = (4x + 7)³
Die innere Funktion ist hier h(x)=4x+7.
Die äußere Funktion erhält man durch Substitution z := 4x + 7 -> g(z) =z³
Die Ableitungen von g(z) und h(x) lauten: g'(z) = 3z² und h'(x) = 4
g'(z) wird nach einer Rücksubstitution z -> x zu g'(h(x))=3(4x+7)²
Anwendung der Kettenregel ergibt:
f'(x) = g'(h(x))h'(x) = 3(4x+7)²*4 =12(4x+7)²

2. Beispiel: Ableitung der Funktion f(x) = sin²(x)
innere Funktion: h(x)=sin(x)
äußere Funktion: g(z) = z² mit z:=sin(x)
Ableitungen von g(z) und h(x): g'(z)=2z, g'(h(x))=2sin(x) und h'(x) =cos(x)
Anwendung der Kettenregel: f'(x) = g'(h(x))h'(x)
f'(x)= 2sin(x)cos(x)

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