Potenzregel: Ableitung und Beispiele

Potenzregel: Ableitung und Beispiele
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Anmerkung: Im Folgenden wird für den Exponenten n die Notation “^n” (“hoch n”) verwendet.

Allgemeines zur Potenzregel

Die Potenzregel gehört zu einer Gruppe von Regeln, die die Differenziation (Ableitung) algebraischer Funktionen festlegen. Sie bezieht sich auf Variablen der Form x^n (“x hoch n”) und besagt, dass die Ableitung einer Funktion f(x)=x^n mit n als Exponenten f'(x)=n*x^(n-1) lautet.
Auch die Ableitung einer Konstanten lässt sich anhand der Potenzregel definieren. Da jede Konstante als Produkt ihrerselbst und einer Variablen mit dem Exponenten 0 geschrieben werden kann, gilt für eine Funktion f(x) mit der Konstanten c:

f(x) = c = c*x^0 und aus x^0=1 folgt:
f'(x)=0*x^(-1)=0

Zur Anwendung kommt die Potenzregel in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Analyse von Funktionen beschäftigt.

Herleitung der Potenzregel (ansatzweise)

Die Differenziation (Ableitung) entspricht in der Analysis der Steigung einer Tangente, die den Funktionsgraphen in einem Punkt (x, y=f(x)) berührt. Da man für die Berechnung der Steigung zwei Punkte der Kurve benötigt, wird anstelle der Tangentensteigung die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte des Graphen P1(x,f(x)) und P2(x+dx,f(x+dx)) berechnet, wobei dx den Abstand der x-Koordinaten beider Punkte bezeichnet. Strebt dx gegen Null, erhält man mit dem Quotienten dy/dx annähernd die Steigung im Punkt (x,y). Da dx im Nenner nicht zu Null werden darf, wird eine Grenzwertberechnung durchgeführt. Die Vorgehensweise soll an dieser Stelle nur ansatzweise erläutert werden:
Mit f(x)=y=x^n wird die Ableitung zu
dy/dx = (f(x+dx)-f(x))/dx = ((x+dx)^n – x^n)/dx
Nach mehreren Termumformungen und anschließender Reihenbildung erhält man zum Schluss für dy/dx:
dy/dx = y’ = n*x^(n-1).

Beispiele für die Anwendung der Potenzregel

Im Folgenden wird die Anwendung der Potenzregel auf Terme x^n für verschiedene Zahlenbereiche des Exponenten n betrachtet.

Eine ganze Zahl als Exponent

Der Exponent n ist eine positive oder negative ganze Zahl.
1. Beispiel: f(x) = x^5 hat die Ableitung f'(x)=5x^4
2. Beispiel: f(x) = x^(-5) wird nach einer Ableitung zu f'(x) = -5x^(-6)

Ein rationaler Exponent

Im Exponenten steht eine Zahl n, die als Bruch darstellbar ist, das heißt: eine rationale Zahl.
1. Beispiel: Die Ableitung von f(x) = x^½ lautet f'(x)=½*x^(-½)
2. Beispiel: f(x) = x^(-½) wird zu f'(x)= -½*x^(-3/2) abgeleitet.

Zusatzaufgabe

Bei der folgenden Aufgabe kommt neben der Potenzregel die Faktorregel zur Anwendung.

Aufgabe: Wie lautet die Ableitung von f(x)=3x^(½*a) mit a als einer positiven ganzen Zahl?
Lösung: Der Ausdruck (½*a) im Exponenten ist eine Konstante wie das n bei der Formulierung der Potenzregel. Daraus folgt in Kombination mit der Faktorregel: f'(x)= 3*(½a)*x^(½a-1) = 1,5ax^(½a-1)

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