Summenregel: Ableitung und Aufgaben

Allgemeines zur Summenregel

Die Summenregel definiert die Differentiation (Ableitung) einer aus mindestens zwei Funktionen bestehenden Summe. Es wird vorausgesetzt, dass die (Teil-)Funktionen, die als Summanden auftreten, von einer gemeinsamen Variable abhängig sind. Trotz ihres Namens gilt die Summenregel auch für Differenzen.

Anwendungsbereich der Summenregel

Die Summenregel ist vor allem bei der Kurvendiskussion (Analysis) von Polynomfunktionen relevant. Diese Funktionen bestehen aus einem mehrgliedrigen Summenausdruck, einem Polynom, auf der “rechten Seite” der Funktionsgleichung. Jeder Summand des Polynoms besteht aus dem Produkt einer Konstanten und einer Variablen. Interpretiert man jedes Glied dieses Terms als eine Teilfunktion, dann ist die Ableitung der Gesamtfunktion identisch mit der Summe der Ableitungen der Teilfunktionen. Mathematischer formuliert lautet die Regel:
Wenn f(x) = g(x) + h(x), dann gilt: f'(x) = g'(x) + h'(x).

Herleitung der Summenregel über die Grenzwertberechnung

Bei der Kurvendiskussion wird die Steigung der Kurve in einem Punkt (x, y=f(x)), also die Ableitung von x, als Steigung einer Geraden durch die Punkte (x,y) und (x+dx, y+dy) berechnet. Minimiert man den Abstand dieser Punkte bzw. die Werte dx und dy, erhält man eine Näherung für die Steigung der Tangente im Punkt (x,y). Man bezeichnet diese Minimierung des Abstandes auch als Grenzwertberechnung.

Setzt man f(x)=y, g(x)=u und h(x)=v, dann kann aus den Teilfunktionen u und v die Funktion y = u+v gebildet werden. Für y gilt:
y+dy = u+du + v+dv |-u-v
<=> (y-u-v) + dy = du + dv |:dx

Wegen y=u-v wird der Ausdruck in Klammern zu Null
<=> dy/dx = du/dx + dv/dx

Mit y’=dy/dx als Grenzwert mit gegen Null strebenden Werten von dx und dy folgt:
<=> y’ = u’ + v’

Hiermit ist die Summenregel bewiesen.

Aufgaben zur Summenregel

Die folgenden Aufgaben setzen die Kenntnis der Potenzregel voraus.

1. Aufgabe: Ableitung von f(x) = 5x + 3x +7 (nach der Summenregel)
Lösung: Die Funktion f(x) kann als Summe der Funktionen g(x), h(x) und einer Konstanten c interpretiert werden:
f(x) = g(x) + h(x) + c
Da g'(x)=5, h'(x)=3 und die Ableitung der Konstanten, c’=0 beträgt, gilt weiter:
f'(x)= g'(x) + h'(x) + 0 = 5 + 3 + 0 = 8.

2. Aufgabe: Ableitung von f(x) = 2x² + 4x³
Lösung: Die Funktion f(x) kann als Summe zweier Funktionen g(x)=2x² und h(x)=4x³ betrachtet werden. Dann gilt gemäß der Summenregel:
f'(x) = g'(x)+h'(x)
Nach der Potenzregel gilt g'(x)=4x und h'(x)=12x² und folglich nach Anwenden der Summenregel f'(x) = 4x + 12x².

3. Aufgabe: Ableitung von f(x)= x³ + x² – x
Lösung: Die Subtraktion ‘-x’ kann als ‘+(-x)’ geschrieben werden .
Mit der Interpretation
f(x) = f1(x)+f2(x)+f3(x) und mit
f1(x)=x³ , f2(x)=x² und f3(x)=-x als Teilfunktionen gilt bei Anwendung der Potenzregel und der Summenregel:
f'(x) = 3x²+2x-1