Allgemeines zur Faktorregel
Die Faktorregel aus dem mathematischen Teilgebiet Analysis definiert die Ableitung eines Produktterms, der aus zwei Faktoren, einer Konstanten und einer Variablen mit Exponenten n, besteht.
Die Ableitung mehrgliedriger Polynomfunktionen wird stets summandenweise bestimmt. Ein Summand, das Elementarglied eines Polynomterms ist typischerweise das Produkt aus einer Konstanten c und der mit einem Exponenten versehenen Variablen x. Nach der Faktorregel wird nun die Konstante c einer solchen Funktion der Form
f(x) = c*x^{n}
unverändert als Faktor in die Ableitungsfunktion f'(x) übernommen, wobei der Ausdruck x^{n} hier für die mathematische Operation der Potenzbildung (in Worten: “x hoch n”) steht. Für die Ableitung f'(x) heißt dies unter Berücksichtigung der Potenzregel:
f'(x)=c*n*x^{n-1}.
Faktorregel versus Konstantenregel
Die Faktorregel tritt in der Fachliteratur manchmal auch unter dem Namen “Konstantenregel” auf. Diese Bezeichnung für die Faktorregel sollte jedoch vermieden werden, da sich die Konstantenregel an anderen Stellen in der Literatur auf die Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c bezieht. Die Ableitung einer alleinstehenden Konstanten ist definitionsgemäß aber immer 0.
Herleitung der Faktorregel
Interpretiert man den Ausdruck x^{n} aus der Funktion f(x) = c*x^{n} als Teilfunktion g(x), erhält man eine aus den Faktoren c und g(x) bestehende Funktion
f(x) = c*g(x)
Lässt man dx gegen den Wert ‘0’ streben, dann lautet die Ableitung dieser Funktion:
f'(x)=(c*g(x+dx)-c*g(x))/dx=c*<(g(x+dx)-g(x))/dx>
Der Term in den eckigen Klammern
<(g(x+dx)-g(x))/dx> entspricht bei Grenzwertbildung (Minimierung von dx, so dass dx gegen den Grenzwert ‘0’ strebt) der Ableitung der Funktion g(x):
f'(x) = c*g'(x).
Dies ist der Beweis für den Übergang der Konstanten auf die Ableitungsfunktion f'(x).
Übungen
Die folgenden Übungen gehen davon aus, dass die Potenzregel bereits bekannt ist.
1. Übung: Es soll die Ableitung der Funktion f(x) = 5*x^{-2} gebildet werden.
Lösung: Nach Anwendung der Potenz- und der Faktorregel gilt: f'(x) = (-2)*5*x^{-3}=-10x^{-3}
2. Übung: Bestimmung der Ableitung der Funktion f(x)=4/x
Lösung: 4/x lässt sich auch als 4*x^{-1} schreiben. Daraus folgt für die Ableitung
f'(x) = (-1)*4*x^{-2} oder f'(x) = -4/x²
3. Übung: Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = 2*sqrt(x)? Anmerkung: Der Ausdruck ‘sqrt(x)’ steht für “Wurzel aus x”.
Lösung: Die Funktion lautet nach einer Termumformung f(x) = 2*x^{½}. Nach Anwendung der Potenz- und Faktorregel erhält man f'(x)=½*2*x^{-½} oder nach Umformung f'(x) = 1/<sqrt(x)>
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