Allgemeines
Die Produktregel definiert die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen. Die Ableitung einer Funktion der Form f(x)=g(x)*h(x) lautet nach dieser Regel f'(x)=g'(x)*h(x) + g(x) *h'(x). Die Produktregel ist zunächst schwer nachvollziehbar, da der naheliegende Term “g'(x)*h'(x)” in der Formel nicht auftritt.
Herleitung der Produktregel
Die Ableitung einer Funktion wird allgemein definiert als
f'(x) = lim dx->0 { <f(x+dx)-f(x)>/dx }; “lim dx->0” steht für “limes dx gegen 0”
Der Wert in geschweiften Klammern entspricht der Steigung einer Sekante, also einer Geraden, die den Funktionsgraphen in zwei Punkten P1(x; f(x)) und P2(x+dx; f(x+dx)) schneidet. Bei einer Grenzwertbildung (limes-Operator) für dx gegen 0 nähert sich die Sekante durch die zwei Punkte der Tangente im Punkt P1. Zugleich nähert sich der Wert in geschweiften Klammern der Ableitung f'(x) der Funktion im Punkt P1.
Setzt man im Zähler von f'(x) für f(x)=g(x)*h(x) und f(x+dx)= g(x+dx)*h(x+dx) ein, erhält man den Term
g(x+dx)*h(x+dx) – g(x)*h(x)
Nun wird im Zähler ein zusätzlicher Term eingeführt, nämlich g(x)*h(x+dx). Dieser mathematische “Trick” beruht auf der Annahme, dass entweder eine Kopplung der Funktionswerte g(x) und h(x+dx) oder der Werte h(x) und g(x+dx) in der Ableitungsfunktion vorkommen muss.
Durch Addition und anschließende Subtraktion dieses Ausdrucks wird der Zähler zu
g(x+dx)*h(x+dx) – g(x)*h(x) + g(x)*h(x+dx) – g(x)*h(x+dx)
Die Erweiterung ist nur machbar, weil der Wert des gesamten Terms durch die Subtraktion unverändert bleibt.
Durch Umstellen und Ausklammern wird der Zähler zu
g(x)*< h(x+dx)-h(x) > + h(x+dx)*< g(x+dx)-g(x) >
Betrachtet man nun wieder den Grenzwert für dx gegen 0, ergibt sich für die Ableitung
f'(x) = lim dx-> 0 { g(x)*<h(x+dx)-h(x)>/dx} + lim dx-> 0 { h(x+dx)*<g(x+dx)-g(x)>/dx },
In den geschweiften Klammern sind jeweils die definitionsgemäßen Ableitungen für h(x) und g(x) enthalten.
Damit wird f'(x) zu
f'(x) = g(x)*h'(x) + g'(x)*h(x)
Beispiele für die Anwendung der Produktregel
1. Beispiel: Bestimmung der Ableitung von f(x) = x*sin(x)
Hier ist eine Produktstruktur schnell erkennbar und zwar
mit g(x) = x und h(x)=sin(x) bzw. g'(x)=1 und h'(x)=cos(x)
f'(x) = 1*sin(x) + x*cos(x) = sin(x) + x*cos(x)
2. Beispiel: Es soll die Ableitung von f(x) = (x²+1)(x-4) gebildet werden.
g(x)= (x²+1) und h(x)= (x-4) bzw. g'(x)=2x und h'(x)=1
f'(x)=2x*(x-4) + (x²+1)*1= 2x²-8x+x² + 1 = 3x² – 8x + 1
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